\documentclass[11pt,oneside,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,bulgarian]{babel}
\usepackage{setspace}

%\usepackage{array}

%\usepackage[chapter]{algorithm}
%\usepackage[noend]{algpseudocode}
%\usepackage{float}
%\floatname{algorithm}{Алгоритъм}

%\usepackage{myalg}

\setlength{\parindent}{10pt} 
\setlength{\parskip}{1ex}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{spacing}{2}
Първо домашно по Дискретни структури, 10.11.2016г.
\end{spacing}
Име: \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, ФН:\_\_\_\_\_, Спец./курс:\_\_\_\_\_\_\_ 
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c||c|}
\hline
Задача & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Общо \\ 
\hline
\hline
получени точки & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & \\
\hline
максимум точки &  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Забележка:} Предайте домашното на вашия асистент най-късно на 22-24 ноември, преди започване на упражнението на групата Ви !

\paragraph{Задача 1.} 
Нека $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ е определена така:
\begin{align*}
 f(x)&=\frac{2x-7}{5}
\end{align*}

(a) Докажете, че $f$ е биекция

(b) Изразете в явен вид (чрез формула) обратната \`{и} функция $f^{-1}$.


\paragraph{Задача 2.} 49 точки лежат в квадрат със страна 14. 
Докажете, че поне две от тях са на разстояние по-малко от 3. 

\emph{Упътване:} Ползвайте принципа на Дирихле.

\paragraph{Задача 3.} 
Нека $\mathbb{N}$ е множеството на естествените числа, а $2^\mathbb{N}$ е множеството от подмножествата му.
% $\{0, 1, 2, \ldots\}$. 
Постройте биекция между множествата $2^\mathbb{N}$ и $2^\mathbb{N}\times 2^\mathbb{N}$.

\paragraph{\mbox{Задача 4.}}
Добра наредба в множеството $A$ е линейна наредба, такава, че всяко непразно подмножество на $A$ има най-малък елемент.

Обичайната числова релация $<$ не е добра наредба върху множеството $\mathbb{Z}$ (обяснете защо).

Постройте добра наредба $\prec$ върху $\mathbb{Z}$.

Посочете примерна двойка числа $(m,n)$, за които $m\prec n$, но $m>n$.

\paragraph{\mbox{Задача 5.}}
Нека $R$ е наредба в крайното множество $A$.

Докажете, че $R$ добра наредба точно когато е линейна.


\end{document}


