\documentclass[11pt,oneside,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[pdftex,
  pdfauthor={Georgi Georgiev},
  pdftitle={Exam, SU, FMI, 29.08.2016},
  pdfsubject={Discrete structures},
  pdfstartview={FitH}
]{hyperref}

\usepackage{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,bulgarian]{babel}
\usepackage{setspace}

%\usepackage{array}

%\usepackage[chapter]{algorithm}
%\usepackage[noend]{algpseudocode}
%\usepackage{float}
%\floatname{algorithm}{Алгоритъм}

%\usepackage{myalg}

\setlength{\parindent}{0pt} 
\setlength{\parskip}{1ex}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{spacing}{2}
Поправителен изпит по\, ''Дискретни структури'' (задачи), СУ, ФМИ, 29.\,08.\,2016 г.
\end{spacing}
Име: \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\; ФН: \_\_\_\_\_\; Спец.: \_\_\_\_\; Курс: \_\_\_
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c||c|}
\hline
Задача & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & Общо\\
\hline
\hline
получени точки & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & \\
\hline
максимум точки & 20 & 20 & 35 & 30 & 30 & 135 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Забележка:}\; За отлична оценка са достатъчни 100 точки.


\paragraph{Задача 1.}
% , м.г., Скелета
Точките в равнината можем да представим чрез техните координати като двойки реални числа: 
$\mathbb{R}^2=\Bigl\{(x\,,\,y)\;|\; x\in\mathbb{R}\:,\; y\in\mathbb{R}\Bigr\}$. 
Релацията $P\subseteq\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ е определена по следния начин: 
\[
P\;=\;\Bigl\{\;\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 1}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 1}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 2}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 2}}\right)\Bigr)\;\;\Bigl|\Bigr.\;\; x_{_{\scriptstyle 1}}\,y_{_{\scriptstyle 1}} =\, x_{_{\scriptstyle 2}}\,y_{_{\scriptstyle 2}}\,\Bigr\}\,.
\]
a)\; Да се докаже, че \,$P$\, е релация на еквивалентност.\hfill(10 точки)\\
б)\; Да се опише и начертае класът на еквивалентност на точката $(5\,,\,6)$.\hfill(10 точки)


\paragraph{Задача 2.}
% , м.г., Лесева, Скелета
При провеждане на първата изпитна сесия от 80 студенти в специалност КН, първи поток,\;
изпита по ДИС\, издържали\, 38 студенти,\; по ЛА --- 45 студенти,\; а по ДС --- 52 студенти.\linebreak
Било установено, че изпитите по ДИС и ЛА издържали 20 студенти,
ДИС и ДС --- 28 студенти.\linebreak
14 студенти заявили покрусени, че не взели нито един от трите изпита.
Станало известно още, че\linebreak 13 студенти взели и трите изпита.
Колко студенти са положили успешно изпитите по ЛА и ДС ?


\paragraph{Задача 3.}
В неориентиран граф от всеки връх излизат точно три ребра.\\
а)\; Докажете, че графът има четен брой върхове.\hfill(7 точки)\\
б)\; Докажете, че в графа има цикъл.\hfill(7 точки)\\
в)\; Възможно ли е графът да съдържа:\\
\hspace*{14pt}
в1)\; хамилтонов цикъл? \qquad в2)\; ойлеров цикъл? \qquad в3)\; ойлеров път? \hfill (по 7 точки)


\paragraph{Задача 4.}
Точките с цели координати в равнината са оцветени с осем цвята.\\
а)\; По колко начина може да бъде оцветен квадратът\,
     ${\displaystyle\Bigl\{\,1\;,\;2\;,\;3\,\Bigr\}\times\Bigl\{\,1\;,\;2\;,\;3\,\Bigr\}}$
     ?\hfill(20 точки)\\
б)\; Докажете, че има две едноцветни точки
     на разстояние, по\hspace{1.5pt}-малко от 3.\hfill(10 точки)


\paragraph{Задача 5.}
За двоичната функция\, $f\,(x\,,\,y\,,\,z\,)$,\,
определена с таблицата по\hspace{1.5pt}-долу, намерете:\\
а) съвършената дизюнктивна нормална форма;\hfill (5 точки)\linebreak
б) минималната дизюнктивна нормална форма;\hfill (15 точки)\linebreak
в) полинома на Жегалкин.\hfill (10 точки)\linebreak
\emph{\textbf{БОНУС:}}\;\; Шеферова функция ли е $f$\hspace{2pt}?\hfill (15 точки)\linebreak

\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc|c}
x & y & z & f \\
\hline
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0  
\end{array}
\end{displaymath}


\pagebreak


{\centering\textbf{РЕШЕНИЯ}\par}
\vspace{-10pt}


\paragraph{Задача 1.}
\mbox{\,}\vspace{10pt}\\
а)\; Понеже \,$xy=xy$,\, то
${\displaystyle
\Bigl(\left(x\,,\,y\right)\,,\,\left(x\,,\,y\right)\Bigr)\!\in\!P
}$\,
за\, $\forall x\!\in\!\mathbb{R}$, $\forall y\!\in\!\mathbb{R}$,\,
т.е. релацията \,$P$\, е рефлексивна.\linebreak
\mbox{\,}\vspace{8pt}\\
${\displaystyle
\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 1}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 1}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 2}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 2}}\right)\Bigr)\!\in\!P
}$
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
x_{_{\scriptstyle 1}}\,y_{_{\scriptstyle 1}} =\, x_{_{\scriptstyle 2}}\,y_{_{\scriptstyle 2}}
}$
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
x_{_{\scriptstyle 2}}\,y_{_{\scriptstyle 2}} =\, x_{_{\scriptstyle 1}}\,y_{_{\scriptstyle 1}}
}$
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 2}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 2}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 1}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 1}}\right)\Bigr)\!\in\!P.
}$\vspace{4pt}\linebreak
Следователно релацията \,$P$\, е симетрична.\\
\mbox{\,}\vspace{8pt}\\
${\displaystyle
\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 1}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 1}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 2}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 2}}\right)\Bigr)\!\in\!P
\;\;\wedge\;\;
\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 2}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 2}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 3}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 3}}\right)\Bigr)\!\in\!P
}$
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
x_{_{\scriptstyle 1}}\,y_{_{\scriptstyle 1}} =\, x_{_{\scriptstyle 2}}\,y_{_{\scriptstyle 2}}
\;\;\wedge\;\;
x_{_{\scriptstyle 2}}\,y_{_{\scriptstyle 2}} =\, x_{_{\scriptstyle 3}}\,y_{_{\scriptstyle 3}}
}$\vspace{4pt}\linebreak
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
x_{_{\scriptstyle 1}}\,y_{_{\scriptstyle 1}} =\, x_{_{\scriptstyle 3}}\,y_{_{\scriptstyle 3}}
}$
\begin{minipage}{16pt}
\mbox{\,}\vspace{-4pt}\\
{\LARGE ${\displaystyle\Rightarrow}$}
\end{minipage}
${\displaystyle
\Bigl(\left(x_{_{\scriptstyle 1}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 1}}\right)\,,\,\left(x_{_{\scriptstyle 3}}\,,\,y_{_{\scriptstyle 3}}\right)\Bigr)\!\in\!P
}$.\qquad
Ето защо \,$P$\, е транзитивна релация.\linebreak
\mbox{\,}\vspace{6pt}\\
Щом релацията \,$P$\, е рефлексивна, симетрична и транзитивна,
то тя е релация на еквивалентност.\vspace{6pt}\linebreak
\mbox{\,}\\
б)\; Класът на еквивалентност на точката\, $(5\,,\,6)$\,
е множеството от всички точки\, $(x\,,\,y)$,\, за които\vspace{4pt}\linebreak
$x\hspace{1pt}y\;\,=\;\,5\;\,.\,\;6$,\;\;
т.е.\;\; $x\hspace{1pt}y\,\;=\,\;30$.\;\;
Графиката на обратната пропорционалност\;
${\displaystyle y=\frac{30}{x}}$\;
е хипербола,\vspace{4pt}\linebreak
чиито два клона са разположени в първи и трети квадрант.\vspace{6pt}\\

{\centering
\begin{minipage}{367.5pt}
\includegraphics[scale=0.15]{Zad1b.png}
\end{minipage}
\par}


\pagebreak


\paragraph{Задача 2.}
Щом 14 студенти не са взели нито един изпит,
то останалите $80-14=66$ студенти са взели поне един изпит.
Прилагаме принципа за включване и изключване:\vspace{10pt}\\
${\displaystyle
\Bigl|\;ДИС\;\cup\;ЛА\;\cup\;ДС\;\Bigr|\;=\;
\Bigl|\;ДИС\;\Bigr|\;+\;
\Bigl|\;ЛА\;\Bigr|\;+\;
\Bigl|\;ДС\;\Bigr|\;\;-
}$\vspace{6pt}\\
\hspace*{125pt}
${\displaystyle
-\;\;
\Bigl|\;ДИС\;\cap\;ЛА\;\Bigr|\;-\;
\Bigl|\;ДИС\;\cap\;ДС\;\Bigr|\;-\;
\Bigl|\;ЛА\;\cap\;ДС\;\Bigr|\;\;+
}$\vspace{6pt}\\
\hspace*{125pt}
${\displaystyle
+\;\;
\Bigl|\;ДИС\;\cap\;ЛА\;\cap\;ДС\;\Bigr|
}$\;.\vspace{10pt}\\
За да не усложняваме решението с нови обозначения,
използваме названието на всеки учебен предмет
като обозначение на множеството на студентите,
които са взели изпита по този предмет.\vspace{10pt}\\
Заместваме числата, дадени в условието на задачата,
и пресметнатата стойност 66:\vspace{10pt}\\
${\displaystyle
66\;=\;38\;+\;45\;+\;52\;-\;20\;-\;28\;-\;\Bigl|\;ЛА\;\cap\;ДС\;\Bigr|\;+\;13
}$\;,\qquad\!\!тоест\qquad\!\!
${\displaystyle
66\;=\;100\;-\;\Bigl|\;ЛА\;\cap\;ДС\;\Bigr|
}$\;,\vspace{6pt}\\
откъдето намираме\quad
${\displaystyle
\Bigl|\;ЛА\;\cap\;ДС\;\Bigr|\;=\;100\;-\;66\;=\;34.
}$\vspace{10pt}\\
\textbf{Отговор:}\; 34 студенти са положили успешно и изпита по ЛА, и този по ДС.\\
\mbox{\,}\\
\mbox{\,}\\
Задачата може да се реши и с диаграма на Вен. Попълваме секторите един по един.\\

{\centering
\fbox{
\begin{minipage}{165.6pt}
\includegraphics[scale=0.80]{Zad2.png}
\end{minipage}
}\par}\vspace{10pt}

Най\hspace{1pt}-напред в черния сектор нанасяме числото 13 --- 
броя на студентите, взели и трите изпита.\linebreak
На бялата площ нанасяме числото 14 --- 
броят на студентите, невзели нито един изпит.\linebreak
Изпитите по ДИС и ЛА са взети от 20 студенти,
които попадат в зеления и черния сектор общо.\linebreak
Следователно в зеления сектор има $20-13=7$ студенти
(те са взели ДИС и ЛА, но не и ДС).\linebreak
Изпитите по ДИС и ДС са взети от 28 студенти
(тъмносиния и черния сектор заедно).\linebreak
Значи, в тъмносиния сектор има $28-13=15$ студенти
(те са взели ДИС и ДС, но не и ЛА).\linebreak
Изпитът по ДИС е издържан от 38 студенти
(зеления, черния, тъмносиния и светлосиния сектор).\linebreak
За светлосиния сектор остават $38-7-13-15=3$ студенти
(те са взели само изпита по ДИС).\linebreak
Изпитът по ДС е издържан от 52 студенти
(черния, розовия, червения и тъмносиния сектор).\linebreak
Към числото 52 добавяме числата от белия, зеления и светлосиния сектор:
$52+14+7+3=76$.\linebreak
За жълтия сектор остават $80-76=4$ студенти
(тези студенти са издържали само изпита по ЛА).\linebreak
Изпитът по ЛА е издържан от 45 студенти
(черния, зеления, жълтия и червения сектор).\linebreak
За червения сектор остават $45-13-7-4=21$ студенти
(те са издържали ЛА и ДС, но не и ДИС).\linebreak
(Понеже изпитът по ДС е взет от 52 студенти,
то в розовия сектор стои числото $52-15-13-21=3$,
но то не е нужно за решението; това е броят на студентите,
взели само изпита по ДС.)\vspace{10pt}\\
Студентите, издържали ЛА и ДС,
се намират в обединението на черния и червения сектор;\linebreak
техният брой е $21+13=34$. Това е отговорът на задачата.


\pagebreak


\paragraph{Задача 3.}
\mbox{\,}\vspace{10pt}\\
а)\; Нека \,$n$\, е броят на върховете, а \,$m$\, е броят на ребрата на графа.
Щом от всеки връх излизат по три ребра, то всички ребра са \,$3n$.\,
Но така всяко ребро е броено два пъти --- по веднъж за всеки от двата върха,
с които е инцидентно. Затова \,$3n=2m$.\, Следователно числото \,$3n$\, е четно,
тогава и \,$n$\, е четно.\\
\mbox{\,}\\
б)\; Това, че в графа има цикъл, може да се докаже по много начини.\\
\mbox{\,}\\
\textbf{Първи начин:}\;
Нека \,$v_{_1}$\, е произволен връх на графа.
От \,$v_{_1}$\, излизат три ребра.
По някое от тях\linebreak преминаваме към друг връх \,$v_{_2}$\,.\;
Но и от \,$v_{_2}$\, излизат три ребра.
По едно от тях току-що сме пристигнали във \,$v_{_2}$\,,\;
по някое от другите две продължаваме към друг връх \,$v_{_3}$\,
и тъй нататък.
Получава се път \,$v_{_1}$\,,\,$v_{_2}$\,,\,$v_{_3}$\, и т.н.,
който не може да е безкраен
(в курса по "Дискретни структури"\linebreak разглеждаме само крайни графи).
Следователно на някоя стъпка върхът, в който отиваме,\linebreak
ще съвпада с някой от вече посетените върхове,
т.е. ще открием цикъл в графа.\\
\mbox{\,}\\
\textbf{Втори начин:}\;
Допускаме противното: че графът не съдържа цикъл.
Тогава графът е гора.\linebreak
Всяка гора има поне едно дърво,
а всяко дърво има поне едно листо.
Но листата са върхове\linebreak от първа степен.
Следователно графът съдържа връх от първа степен, което е противоречие:\linebreak
по условие всички върхове на дадения граф са от трета степен.
Това противоречие показва,\linebreak че допускането не е вярно.
Вярно е твърдението на задачата: графът съдържа цикъл.\\
\mbox{\,}\\
в1)\; Възможно е графът да съдържа хамилтонов цикъл.
Такива графи са например \,$K_4$\, и \,$K_{3\,,\,3}$\,.\\
\mbox{\,}\\
в2)\; Графът не може да съдържа ойлеров цикъл,
защото има върхове от нечетна степен:\linebreak
всички върхове на графа са от трета степен.\\
\mbox{\,}\\
в3)\; Графът не съдържа ойлеров път,
защото има повече от два върха от нечетна степен:\linebreak
всички върхове са от трета степен и графът има поне четири върха.
Последното твърдение\linebreak се доказва така:
ако \,$v_{_1}$\, е произволен връх на графа,
то от \,$v_{_1}$\, излизат три ребра, например към върховете
\,$v_{_2}$\,, \,$v_{_3}$\, и \,$v_{_4}$\,,\;
така че графът съдържа поне четири върха.\\


\paragraph{Задача 4.}
\mbox{\,}\vspace{10pt}\\
а)\; Това подусловие може да се реши по различни начини.\\
\mbox{\,}\\
\textbf{Първи начин:}\;
Да номерираме точките на квадрата с числата от 1 до 9.\;
На всяко оцветяване\linebreak на квадрата съпоставяме редица от цветове,
като първият цвят съответства на първата точка,
вторият цвят --- на втората точка и т.н.
Следователно броят на възможните оцветявания
е равен на броя на редиците от описания вид,
т.е. броя на вариациите с повторения на осем елемента от девети клас,
защото за всяка редица избираме девет от осем цвята в определен ред,
като имаме право да повтаряме цветове
(две точки от квадрата може да бъдат оцветени в един и същи цвят).
Затова търсеният брой е равен на\;
${\displaystyle
\widetilde{\hspace{1.5pt}V\hspace{1.5pt}}_{\hspace{0.5pt}8}^{\hspace{0.9pt}9}\;=\;
8^{^{\scriptstyle\,9}}\;=\;134217728
}$.\\
\mbox{\,}\\
\textbf{Втори начин:}\;
За първата точка има осем възможни цвята, за втората --- също осем\linebreak
и т.н. до деветата точка включително. Прилагаме правилото за умножение:
броят на възможните\vspace{3pt}\linebreak оцветявания на квадрата е равен на\;\,
${\displaystyle
\underbrace{\:8\;\;.\;\;8\;\;\ldots\;\;8\:}_{9\;\,множителя}\;=\;
8^{^{\scriptstyle\,9}}\;=\;134217728
}$.\\
\mbox{\,}\\
б)\; Квадратът от подусловие "а"\, има страна с дължина 2
и съдържа девет точки, а разполагаме\linebreak с осем цвята.
От принципа на Дирихле следва,
че поне две от деветте точки имат еднакъв цвят.\linebreak
Разстоянието между тези две точки не надхвърля
дължината на диагонала на квадрата\, $2\sqrt{2}<3$.

\pagebreak


\paragraph{Задача 5.}
\mbox{\,}\\
\mbox{\,}\\
а)\; Съвършената дизюнктивна нормална форма се получава по теоремата на Бул:\\
\mbox{\,}\\
\hspace*{14pt}
{\large ${\displaystyle
{f\;=\;\,
\overline{^{\,\!}x^{^{^{\,\!}}}}\,\;\overline{^{\,\!}y^{^{^{\,\!}}}}\,\;\overline{^{\,\!}z^{^{^{\,\!}}}}
\;\;\vee\;\;
\overline{^{\,\!}x^{^{^{\,\!}}}}\,\;\overline{^{\,\!}y^{^{^{\,\!}}}}\;z
\;\;\vee\;\;
\overline{^{\,\!}x^{^{^{\,\!}}}}\,\;y\;\,\overline{^{\,\!}z^{^{^{\,\!}}}}
\;\;\vee\;\;
\overline{^{\,\!}x^{^{^{\,\!}}}}\,\;y\;\,z
\;\;\vee\;\;
x\,\;\overline{^{\,\!}y^{^{^{\,\!}}}}\;z
\;\;\vee\;\;
x\,\;y\;\,\overline{^{\,\!}z^{^{^{\,\!}}}}
}}$}\;\,.\\
\mbox{\,}\\
в) За да получим полинома на Жегалкин, 
в съвършената дизюнктивна нормална форма\linebreak
заменяме включващата дизюнкция с изключваща
(имаме право, понеже дизюнктивната\linebreak нормална форма е съвършена),
а отрицанието заменяме със събиране с единица:\hspace*{30pt}\vspace{10pt}\linebreak
\hspace*{16pt}
{\large ${\displaystyle
f\;=\;
(x+1)\,(y+1)\,(z+1)\,+\,(x+1)\,(y+1)\,z\,+\,(x+1)\,y\,(z+1)\;+
}$}\vspace{6pt}\\
\hspace*{46pt}
{\large ${\displaystyle
+\;(x+1)\,y\,z\,+\,x\,(y+1)\,z\,+\,x\,y\,(z+1)
}$\,.}\vspace{10pt}\\
Разкриваме скобите:\vspace{10pt}\\
\hspace*{16pt}
{\large ${\displaystyle
f\;=\;
x\,y\,z\,+\,x\,y\,+\,x\,z\,+\,y\,z\,+\,x\,+\,y\,+\,z\,+\,1\,+\,x\,y\,z\,+\,x\,z\,+\,y\,z\,+\,z\;+
}$}\vspace{6pt}\\
\hspace*{46pt}
{\large ${\displaystyle
+\;x\,y\,z\,+\,x\,y\,+\,y\,z\,+\,y\,+\,x\,y\,z\,+\,y\,z\,+\,x\,y\,z\,+\,x\,z\,+\,x\,y\,z\,+\,x\,y
}$\,.}\vspace{10pt}\\
Унищожаваме еднаквите събираеми:
\vspace{10pt}\\
\hspace*{16pt}
{\large ${\displaystyle
f\;=\;x\,y\,+\,x\,z\,+\,x\,+\,1
}$\,.}\vspace{10pt}\\
Полученият израз е полиномът на Жегалкин на функцията\, $f$.\\

\begin{minipage}{0pt}
\includegraphics[trim=40 395 48 40, clip]{Zad5b.pdf}
\end{minipage}


\pagebreak


г)\; Функцията\, $f$\, е шеферова, защото сама образува пълно множество.
Това може да се докаже, като изразим чрез\, $f$\, друго множество от булеви функции,
за което знаем, че е пълно, например отрицанието и конюнкцията.

Отрицанието се изразява така:\;\;
${\displaystyle\overline{^{\,\!}p^{^{^{\,\!}}}}\;=\;f\,(\,p\,,\,p\,,\,p\,)}$.

Конюнкцията се изразява така:\;\;
${\displaystyle p\wedge q\;=\;\overline{^{\,\!}f^{^{^{^{\,\!}}}}}\,(\,p\,,\,p\,,\,q\,)}
\;=\;f\,\Bigl(\,f\,(\,p\,,\,p\,,\,q\,)\,,\,f\,(\,p\,,\,p\,,\,q\,)\,,\,f\,(\,p\,,\,p\,,\,q\,)\,\Bigr)$.

Тези тъждества могат да бъдат проверени по табличния метод.\\

Задачата може да се реши и с критерия на Пост.
За да установим, че функцията\, $f$\, е шеферова,
достатъчно е да проверим, че тя не е самодвойнствена
и не запазва нито нулата, нито единицата.
Това лесно се вижда от таблицата на\, $f$.


\end{document}
