\documentclass[11pt,oneside,a4paper]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[english,bulgarian]{babel}
\usepackage{setspace}

%\usepackage{array}

%\usepackage[chapter]{algorithm}
%\usepackage[noend]{algpseudocode}
%\usepackage{float}
%\floatname{algorithm}{Алгоритъм}

%\usepackage{myalg}

\setlength{\parindent}{10pt} 
\setlength{\parskip}{1ex}

\begin{document}

\begin{center}
\begin{spacing}{2}
Семестриално контролно по ДС за КН 1-ви поток, 27.11.2014г.
\end{spacing}
Име: \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_, ФН:\_\_\_\_\_, Група:\_\_\_\_\_\_\_ 
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c||c|}
\hline
Задача & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6  & Общо \\ 
\hline
\hline
получени точки & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & $\quad \quad$ & \\
\hline
максимум точки &  20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 20 & 120 \\ 
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Забележка:} За отлична оценка са достатъчни 100 точки!

\paragraph{Задача 1} Докажете, че $2^{3n}-7n-1$ се дели на $49$ за всяко цяло число $n \geq 0$.

\paragraph{Задача 2} Докажете, че формулата $A \setminus ( B \cap C ) = ( A \setminus B) \cup ( A \setminus C )$
важи за произволни множества $A$, $B$ и $C$.


\paragraph{Задача 3} Нека $F$ е множеството от всички тотални функции от вида $f:\{a,b,c,d\}\to\{1,2\ldots 7\}$. 
Нека $R$ е релация над $F$, такава че $fRg \iff \forall x\in \{a,b,c,d\} \quad f(x) \equiv g(x) \pmod 2$.

а) Докажете, че $R$ е релация на еквивалентност.

б) Намерете колко са функциите в $F$ и колко са класовете на еквивалентност на $R$.

\paragraph{Задача 4} Механизмът на сейф се състои от седем колелца, всяко от които може
да заема десет различни позиции, обозначени с цифрите от $0$ до $9$.
Когато механизмът работи правилно, само една седемцифрена поредица
може да отвори сейфа.

Поради повреда в механизма сейфът се отваря, ако поне четири
от седемте колелца са в правилно положение. Колко са седемцифрените
поредици, отключващи повредения сейф ?


\paragraph{Задача 5}    При едно проучване, проведено сред 35 студенти, се установило, че
   плуване спортуват 23 студенти, бягане -- 26, волейбол -- 24.

%а) Най-малко колко са студентите, които се занимават с трите вида спорт ?

%б)
   След второ, по-подробно проучване било допълнително установено, че
   плуване и волейбол спортуват 15 студенти, плуване и бягане -- 16,
   волейбол и бягане -- 17, а с трите вида спорт се занимавaт 9 студенти.
   Колко студенти не спортуват нито плуване, нито бягане, нито волейбол ?

\paragraph{Задача 6} Редицата на Фибоначи $F_n$ е дефинирана с условията: $F_0=0, F_1=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ за $n>1$.

Редицата $R_n$ е дефинирана с условията: $R_0=1, R_1=1, R_n=R_0+R_1+\ldots+R_{n-2}$ за $n>1$.

Докажете, че $R_n=F_n$ за $n>0$.

\end{document}