%\documentclass[a4paper]{scrartcl}
\documentclass[a4paper,twoside]{article}
%\documentclass[11pt,oneside,a4paper]{article}
\usepackage[margin=3.5cm]{geometry}
%\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
%\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{mathtext}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[english,bulgarian]{babel}
%\usepackage{setspace}
\usepackage{color}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{latexsym}

%\usepackage{array}
%\usepackage[chapter]{algorithm}
%\usepackage[noend]{algpseudocode}
%\usepackage{float}
%\floatname{algorithm}{Алгоритъм}

%\usepackage{myalg}
\usepackage{grbbridge}

\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}
%\pgfplotsset{compat=1.11}

%\setlength{\parindent}{10pt} 
%\setlength{\parskip}{1ex}

%\newtheorem{lema}{Лема}

%\setkomafont{disposition}{\normalfont\bfseries}

\newenvironment{dedication}
 {\begin{quotation}
  \begin{em}
  \raggedleft
 }
 {\par
  \end{em}
  \end{quotation}
 }
% {\vspace{6ex}\begin{quotation}\begin{em}\raggedleft}
% {\par\end{em}\end{quotation}}

\begin{document}

%\begin{frontmatter}

\title{Mathematical bidding}
%\subtitle{Силни едно в цвят}
\author{Georgi Georgiev (Skeleta)}
%\author{Vladimir Babev}
%\address{Faculty of Mathematics and Informatics, Sofia University, Sofia, Bulgaria}
%\ead{skeleta@gmail.com}

\maketitle

\newcommand{\Addresses}{{% additional braces for segregating \footnotesize
  \bigskip
  \footnotesize

  G.~Georgiev, 
  \textsc{Faculty of Mathematics and Informatics, 
          Sofia University, Sofia, Bulgaria}\par\nopagebreak
  \textit{E-mail:} 
  \texttt{skelet@fmi.uni-sofia.bg, skeleta@gmail.com}

%  \medskip

%  V.~Babev, 
%  \textsc{Faculty of Mathematics and Informatics, 
%          Sofia University, Sofia, Bulgaria}\par\nopagebreak
%  \textit{E-mail:} 
%  \texttt{babev@fmi.uni-sofia.bg, babev58@gmail.com}

}}


\begin{dedication}
На дългогодишните ми партньори --\\
Владимир Бабев и 
%съпругата ми 
Генка.
\vspace{10pt}
\end{dedication}

\begin{abstract}
This paper describes a simple compression scheme for hand distributions in contract bridge.
The scheme simplifies the convention rules and decreases the complexity of the bidding systems.
%В представената система откривания 1$\clubsuit$ и 1$\diamondsuit$ показват само сила,
%а при останалите откриващият описва разпределението си.
%При шансове за манш или шлем се провежда серия от релета по единна схема, 
%основана на кодиране и декодиране на разпределенията. 
\end{abstract}

%\begin{keyword}
%спортен бридж \sep анонсиране \sep кодиране
%\end{keyword}

%\end{frontmatter}

\tableofcontents

\newpage

%\paragraph{} 
%Повечето идеи в настоящата работа са взаимствани от базпасова
%система, която разработихме през 1978-1980г. с Владимир Бабев. 

Many ideas in this work are taken from the strong pass
system, developed by me and my first partner Vladimir Babev in years 1978-1982.

%Тези идеи включват кодиране и декодиране на разпределенията, 
%обединяване на фиктивните разпределения в групи и  
%правилата за провеждане на разпитванията. 

These ideas include encoding and decoding distributions,
merging fictive distributions in groups,
and rules for conducting the relays.

\paragraph{Notation:} \mbox{}

We use records like 4-4-3-2 to denote distributions with two 4-card colors, 
one 3-card, and 1 doubleton.
The colors are not specified and the numbers are sorted in descending order.

%\paragraph{} 
The record 3-4-2-4 denotes a distribution with 3 cards in $\clubsuit$, 
4 in $\diamondsuit$, doubleton $\heartsuit$ and 4 cards in $\spadesuit$.
Note that the numbers in this case are unsorted and we use natural order of bridge colors
$\clubsuit$-$\diamondsuit$-$\heartsuit$-$\spadesuit$.

In case the colors are specified and colors length descends from $\clubsuit$ to $\spadesuit$,
the upper two notations contradict.
More often we get the proper meaning from the context.
When this is impossible, we use records like 5=4=2=2 for specified colors and 5-4-2-2 for the common case. 


\section{Encoding scheme} %\mbox{}

\subsection{Real and fictive distributions} \mbox{}

We denote any hand distribution as \emph{real distribution} or simply \emph{distribution}.

The first step in the scheme is to define 4 to 1 encoding to \emph{fictive} distributions.

%\paragraph{}\mbox{}
Note that precisely one of the following holds:
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item 
Here is exactly one color of odd length.
We obtain \emph{fictive} distribution in this case by decreasing the odd color.
\item Here is exactly one color of even length.
In this case we increase the even color.
\end{itemize}

%We \emph{encode} 4 real distributions to 1 fictive in this way: 
%in case of one odd length, decrease it by one;
%in case of one even length, increase it by one;

We obtain the following fictive distributions:

Odd: 5-3-3-3, 5-5-3-1, 7-3-3-1, 7-5-1-1, 9-3-1-1, 11-1-1-1

Even: 4-4-2-2, 4-4-4-0, 6-2-2-2, 6-4-2-0, 6-6-0-0, 8-2-2-0, 8-4-0-0, 10-2-0-0, 12-0-0-0

It is obvious that this coding step is optimal from a mathematical point of view --
each fictive distribution approximates exactly 4 real and distance between real 
and corresponding fictive is exactly 1.  

\subsection{Decoding fictive distributions}

\paragraph{} \mbox{}
We decode a fictive distributions into 4 levels,
in increasing quality:

With even lengths we add a card from short to long suit,
with equals from $\clubsuit$ to $\spadesuit$.

With odd lengths we draw a card from long to short suit, 
with equals from $\spadesuit$ to $\clubsuit$.

%\vspace{3pt}
%\emph{Example 1:} We decode fictive distribution 2-4-4-2 to real one with answers:

%level 1 -- 3-4-4-2 (equal clubs and spades, increase clubs)

%level 2 -- 2-4-4-3
 
%level 3 -- 2-5-4-2 (equal diamonds and hearts, increase diamonds)
 
%level 4 -- 2-4-5-2
 
%$\spadesuit$-$\heartsuit$-$\diamondsuit$-$\clubsuit$.

\vspace{6pt}
\emph{Example:} We decode fictive 3-7-1-3 (long  $\diamondsuit$, short $\heartsuit$) with answers:

level 1 -- 3-6-1-3 (draw from longest color)

level 2 -- 3-7-1-2 (equal clubs and spades, decrease spades)
 
level 3 -- 2-7-1-3 
 
level 4 -- 3-7-0-3 (draw from shortest color)

\paragraph{} \mbox{}
%Описаната схема на декодиране позволява в по-често срещаните 
%случаи да ползваме по-малко нива.
Proposed relay step is simple and effective -- 
at a lower level, we explain the weak and frequent distribution,
while higher level answer determines the strongest and most rare case.

\newpage

\subsection{Distribution probabilities} \mbox{}

\input{ArtBidding_probabilities.tex}

\newpage

%\subsection{Groups of fictive distributions} \mbox{}
\section{Groups of fictive distributions} \mbox{}

Some fictive distributions are similar in structure and quality.
%We unite them in \emph{groups}.
We group them together using geometric ideas.

%Групираме няколко фиктивни разпределения в компактно множество по 
%геометрична близост, което да дава полезна информация при анонсирането.

Най-краткото евклидово разстояние между две фиктивни разпределения е 2,
примерно 6-2-2-2 и 7-3-3-1 са на разстояние 2 в четиримерното пространство.
Конструираме граф на разпределенията, с върхове фиктивните разпределения и 
ребра свързаващи върховете на растояние 2.

Предлагам две схеми за разрязване на този граф:

Първата дефинира откриванията при първоначално обявяване на къс цвят, примерната система е
\href{https://skelet.ludost.net/Bridge_FMI/ActiveOpening/EvenArt/EvenArt.pdf}
{EvenArt}.

%\newpage
\subsection{Distributions graph for EvenArt} \mbox{} 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

%\draw[style=help lines] (0,0) grid (14,12);

\input{bidding_graph.tex}

\draw[blue,dotted,thick] (5.4,0) -- (8,5);
\draw[blue,dotted,thick] (14,5) -- (8,5);
\draw (10.5,4.5) node[right]{semibalanced};
\draw (10.5,4  ) node[right]{open bids: };
\draw (11,3.5) node[right]{pass - 2-3 $\spadesuit$};
\draw (11,3  ) node[right]{1$\clubsuit$ - 4+ $\spadesuit$};
\draw[red] (11,2 ) node[right]{part (A)};

\draw[blue,dotted,thick] (2,1) -- (10,9);
\draw[blue,dotted,thick] (14,9) -- (10,9);
\draw (10.5,8.5) node[right]{1- color, 2-7 in others};
\draw (10.5,8  ) node[right]{open bids: };
\draw (11,7.5) node[right]{1$\diamondsuit$ - 1- $\heartsuit$};
\draw (11,7  ) node[right]{1$\heartsuit$ - 1- $\spadesuit$};
\draw (11,6.5) node[right]{1$\spadesuit$ - 1- $\diamondsuit$};
\draw (11,6  ) node[right]{1$NT$ - 1- $\clubsuit$, 4+ $\diamondsuit$};
\draw (11,5.5) node[right]{2$\clubsuit$ - 1- $\clubsuit$, 3- $\diamondsuit$};
\draw[red] (9,6 ) node[right]{part (B)};

\draw[red] (7,9 ) node[right]{part (C)};

\end{tikzpicture}
\end{center}

%\newpage

Част (A) от графа е за полубалансирани ръце (в системата ги означававаме с bal) фиктивните разпределения са само 14, 
и са разпределени в двете ниски откривания pass и 1$\clubsuit$:

%Дефинират се така:

\vspace{3pt}
pass: bal, 3- $\spadesuit$

$\quad$ L=(4-2-4-2, 2-4-4-2, 3-3-5-3), 
4-4-2-2, 5-3-3-3, 3-5-3-3, 6-2-2-2, 2-6-2-2, 2-2-6-2

1$\clubsuit$: bal, 4+ $\spadesuit$

$\quad$ L=3-3-3-5, 4-2-2-4, 2-4-2-4, 2-2-4-4, 2-2-2-6

\newpage

Част (B) от графа е за ръце с един къс цвят (сек/шикан) и по 2-7 карти в останалите.

Тук конкретните фиктивни са много - 
4 за 4-4-4-0, 12 за 5-5-3-1, 24 за 6-4-2-0 и 12 за 7-3-3-1, или общо 52.

Затова дефинираме групи, обединяващи няколко фиктивни:

\vspace{6pt}
f-f-2-1 $\rightarrow$ 5-5-3-1, 6-4-2-0, 4-6-2-0

v-v-v-1 $\rightarrow$ (4-4-4-0, [2-f-f-1]), f-f-2-1, f-2-f-1, 7-3-3-1, 3-7-3-1, 3-3-7-1

\vspace{6pt}
Запис от вида [elem] заместваме със списъка за дефиниране на elem.

Групите са компактни (в геометричен смисъл) множества от фиктивни, а дефиницията им като списък ползваме при провеждане на разпитванията.

\vspace{6pt}
Например откриване 1$\spadesuit$ дефинираме така:

\vspace{3pt}
1$\spadesuit$: 1- $\diamondsuit$, L=[v-1-v-v]

\vspace{3pt}
По-подробно записване на списъка:

L=(4-0-4-4, [2-1-f-f]), f-1-f-2, f-1-2-f, 7-1-3-3, 3-1-7-3, 3-1-3-7 

\vspace{6pt}
Част (C) от графа е за ръце с два къси цвята или 8+ цвят.

Това са ръце с много силно разпределение. 
Някои откривания са многозначни.
При първи отговор на разпитване откриващият обяснява фиктивното си разпределение и 
по-късно прави уточнение на силата. 

Тази част използва 3 прости групи:

\vspace{6pt}
g-g-1-1 $\rightarrow$ 7-5-1-1, 5-7-1-1

8-x-x-x $\rightarrow$ 8-2-2-0, 8-2-0-2, 8-0-2-2

9-x-x-x $\rightarrow$ 9-3-1-1, 9-1-3-1, 9-1-1-3


%\newpage

\subsection{Distributions graph for DeepNatural and EasyClub} \mbox{} 

Ето разрязване на графа (без редките фиктивни) при първоначално обявяване на дълъг цвят, примерните системи са
\href{https://skelet.ludost.net/Bridge_FMI/ActiveOpening/DeepNat/DeepNat.pdf}
{DeepNatural (дълбоки трансфери)} 
и
\href{https://skelet.ludost.net/Bridge_FMI/ActiveOpening/LegalNat/LegalClub.pdf}
{EasyClub}:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

%\draw[style=help lines] (0,0) grid (14,12);

\input{bidding_reduced_graph.tex}

\draw[blue,dotted,thick] (1,6) -- (14,6);
\draw[blue,dotted,thick] (1,3) -- (14,3);

\draw[red] (7.5,2.5 ) node[right]{part (A)};
\draw[red] (7.5,5.5 ) node[right]{part (B)};
\draw[red] (7.5,8   ) node[right]{part (C)};

\draw (9,2  ) node[right]{Groups:};
\draw (9,5  ) node[right]{Groups:};
\draw (9,7.5) node[right]{Groups:};

\draw (8,1.5) node[right]{4-4-x-x $\rightarrow$ 4-4-2-2, 5-5-3-1, 5-5-1-3};
\draw (8,1  ) node[right]{4-4-y-x $\rightarrow$ [4-4-x-x], 4-4-4-0};

\draw (8,4.5) node[right]{6-x-x-x $\rightarrow$ 6-2-2-2, 7-3-3-1, 7-3-1-3, 7-1-3-3};
\draw (8,4  ) node[right]{6-4-x-x $\rightarrow$ 6-4-2-0, 6-4-0-2, 7-5-1-1}; 
\draw (8,3.5) node[right]{6-y-y-y $\rightarrow$ 6-x-x-x, 6-4-x-x, 6-x-4-x, 6-x-x-4};

\draw (8,7  ) node[right]{8-x-x-x $\rightarrow$ 8-2-2-0, 8-2-0-2, 8-0-2-2};
\draw (8,6.5) node[right]{9-x-x-x $\rightarrow$ 9-3-1-1, 9-1-3-1, 9-1-1-3};

\end{tikzpicture}
\end{center}

\newpage

\section{Bidding styles} \mbox{}

\subsection{Activity} \mbox{}

Ще наричаме едно откриване пасивно, когато дава информация само за сила, не и за разпределение.

Активно е откриване, което дава информация за разпределение.

Тези определения не са противоположни и строги. 
Например в „Прецизна трефа“ откриването
1$\diamondsuit$ показва 11-15 точки и разпределение, 
с което не откриваме 1 в мажор или 2$\clubsuit$.
Можем да го квалифицираме като полу-пасивно.

Ниските пасивни откривания дават темпо на противника да разкаже разпределение преди нас.
Когато силата на ръцете не влияе съществено на нивото на договора (примерно при закона за тоталните взятки), бързото намиране на фит, неговата обща дължина и контрола по цветове са преимущество.

Предлагам две системи - 
\href{https://skelet.ludost.net/Bridge_FMI/ActiveOpening/DeepNat/DeepNat.pdf}
{DeepNatural (дълбоки трансфери)} 
и
\href{https://skelet.ludost.net/Bridge_FMI/ActiveOpening/EvenArt/EvenArt.pdf}
{EvenArt},
които са с максимална активност, 
всички откривания показват само разпределение, и се правят с 0+ точки.

Те влизат в регулацията Highly unusual methods (also HUM), class of contract bridge bidding systems defined by the World Bridge Federation. 

Не могат да се ползват на отворени турнири.



\subsection{Relay bidding} \mbox{}

Казваме, че системата е от тип „Relay bidding“ когато при шансове за добра игра,
примерно за манш и повече, единият играч разказва ръката си, 
а другият го разпитва в серия от форсинг обяви (всяка за един кръг).

При такъв тип конвенция само разпитваният играч дава информация за ръката си, 
а разпитващият определя крайния договор. 

Сравнена със стандартното кооперативно обявяване (когато и двамата играчи дават информация),
схемата „Relay bidding“ има предимства и недостатъци.

Предимството е че при фиксиран брой стъпки за обява (примерно от pass до 3NT има 16 стъпки),
при кооперативно обявяване всеки от играчите ще ползва средно 8 стъпки, 
или 8 бита информационно пространство. Всички 16 бита са достъпна за противника информация.

При игра с релета, разпитваният играч ще ползва средно 10 бита, 
а разпитващият няма да покаже нищо на противника и ще има повече информация 
за да реши какъв договор да се играе.
Сметките разказвам в курса ММСБ към ФМИ.

Недостатък на играта с релета е, че разпитваният играч не знае нищо за партньора си и 
при някои случаи на намеса двойката може да изпадне в неизгодна позиция.

Цялата схема за провеждане на релетата ще наричаме „основна конвенция“.

\newpage
\subsection{Основна конвенция при EvenArt и DeepNat} \mbox{}

\vspace{3pt}
Нека открива S, а N отговаря.
Докато има възможност, протича разпитване, провеждано от N.
Разказът на S е серия от стъпки:

\vspace{3pt}
стъпка 0: самото откриване, показва разпределение

стъпка 1: сила по списъка (0-7, 14+, 8-13)

стъпка 2: уточняване на разпределение

стъпка 3: уточняване на силата по схемата:

$\quad$ 0-7 точки $\rightarrow$ 0-4 без асо, 5-7 или асо

$\quad$ 14+ точки $\rightarrow$ 18+, 14-17

$\quad$ 8-13 точки $\rightarrow$  8-10, 11-13

стъпка 4..k: уточняване на разпределение

стъпка k+1: разказ за аса (може да е два хода)

стъпка k+2: разказ за риги (може да е два хода)

стъпка k+3: разказ за дами (може да е два хода)

\vspace{3pt}
\emph{Правила за провеждане на разпитването:}

(1) При всяка стъпка S развива ръката си по 
списък от възможности и отговаря с нива, по реда в списъка.

(2) Ако едно развиване е до 4 нива, 
последното се замества с развиването на следващата стъпка, ако тя не е разказ за високи карти. 
Обединяването на стъпки се прави рекурсивно, 
докато списъкът от отговори е по-къс от 5 елемента 
(при първо питане до показване на точно разпределение).

(3) N продължава разпитването с най-ниския анонс, който не е 3NT
или доказан 5+ цвят на S. 
Ако двамата играчи са показали 26+ точки общо, N продължава релето с най-ниския анонс (не манш), 
различен от 3N, дори ако влиза в 5+ цвят на S.

Има още правила, специфични за конкретната система.

%\newpage
\vspace{6pt}
\emph{Пример}:
%С картите по-долу открива юг: 

\setboolean{leadingspace}{true}
\begin{handdiagram}
\boardnum{11}
\north{D62,A54,AD,DJT82}
\south{KT,KDJ987,K8764,}
\west{J8743,6,J732,764}
\east{A95,T32,T5,AK953}
\end{handdiagram}

\newpage
Обяви при система EvenArt, EW пасуват:

S 1N: 1- $\clubsuit$, 4+ $\diamondsuit$, 
L=1-f-2-f, 1-f-f-2, 0-4-4-4, 1-7-3-3 

N 2$\clubsuit$: 12+ точки, разпитване, възможни отговори:

$\quad$ 2$\diamondsuit$: 0-7 точки

$\quad$ 2$\heartsuit$: 14+ точки

$\quad$ 2$\spadesuit \ldots$: 8-13 точки, развити по списъка L, по правило (2)

S 2N: 8-13 точки, разпределение 1-f-f-2

N 3$\clubsuit$: продължава разпитването, възможни отговори:

$\quad$ 3$\diamondsuit$: 8-10 точки

$\quad$ 3$\heartsuit \ldots$: 11-13 точки, развитие на 1-f-f-2 по правило (2)

$\quad$ $\quad$ 3$\heartsuit$: 11-13, 1-5-5-3

$\quad$ $\quad$ 3$\spadesuit$: 11-13, 0-6-4-2

$\quad$ $\quad$ 3N: 11-13, 0-4-6-2, пак рекурсия по правило (2)

$\quad$ $\quad$ $\quad$ 3N: 1-4-6-2

$\quad$ $\quad$ $\quad$ 4$\clubsuit$: 0-4-6-3

$\quad$ $\quad$ $\quad$ 4$\diamondsuit$: 0-5-6-2

$\quad$ $\quad$ $\quad$ 4$\heartsuit$: 0-4-7-2

S 4$\diamondsuit$: 11-13 точки, точно разпределение 0-5-6-2

\subsection{Основна конвенция при EasyClub} \mbox{}

\end{document}



\paragraph{} \mbox{}
In real system design the phases A, B and B$_1$ may interfere.

\section{Decoding}

\subsection{Decoding fictive distributions}

\paragraph{} \mbox{}
We decode even fictive distributions in one relay step 
by adding the missing card from shortest to longest color.
In case of equal length we use natural order 
%Четните фиктивни разпределения декодираме, 
%като добавяме липсващата карта от къс към дълъг цвят.
%При еднакво дълги цветове ползваме естествения ред 
$\clubsuit$-$\diamondsuit$-$\heartsuit$-$\spadesuit$.

\emph{Example:} We decode fictive distribution 2-4-4-2 to real one with answers:

level 1 -- 3-4-4-2 (short club and spade, club is lower)

level 2 -- 2-4-4-3
 
level 3 -- 2-5-4-2 (5 cards in diamond, it is lower color)
 
level 4 -- 2-4-5-2
 
\paragraph{} \mbox{}
We decode odd fictive distributions 
by subtracting the redundant card from longest to shortest color.

%Нечетните фиктивни разпределения декодираме, 
%като изваждаме излишната карта от дълъг към къс цвят.
%При еднакво дълги цветове ползваме естествения ред 
%$\clubsuit$-$\diamondsuit$-$\heartsuit$-$\spadesuit$.

\emph{Example:} We decode fictive 3-7-1-3 (long  $\diamondsuit$, short $\heartsuit$) with answers:

level 1 -- 3-6-1-3 (redundancy in longest color)

level 2 -- 2-7-1-3 (redundancy in clubs, spade is higher)
 
level 3 -- 3-7-1-2
 
level 4 -- 3-7-0-3 (redundancy in shortest color)

\paragraph{} \mbox{}
%Описаната схема на декодиране позволява в по-често срещаните 
%случаи да ползваме по-малко нива.
Proposed relay step is simple and effective -- 
at a lower level, we explain the weak and frequent distribution,
while higher level answer determines the strongest and most rare case.

\subsection{Decoding groups}

\paragraph{} \mbox{}
Let the distribution group of the teller is determined. Then he decodes the group to fictive distribution, using the table:

\input{table_b.tex}

\emph{Example:} We decode group x-4-6-x (6+ $\heartsuit$, 4+  $\diamondsuit$) with answers:

level 1 -- 2-4-6-0 (2+ $\clubsuit$)

level 2 -- 0-4-6-2 (2+ $\spadesuit$)
 
level 3 -- 1-5-7-1 
 
level 4 -- 0-4-8-0 (8+ $\heartsuit$)


\subsection{Decoding honors}
 
\paragraph{} \mbox{}
This phase of the relay sequence begins with a step for aces, 
followed by step for kings, then followed by step for queens etc.

Number of iterations depends on the remaining bidding space.

\input{table_d.tex}

\section{Example}

%spellten,leadingspace,betweencards
\setboolean{leadingspace}{true}
%\setboolean{betweencards}{true}
%\setboolean{spellten}{true}

\begin{handdiagram}
\boardnum{1}
\north{JT98,7,AJ983,QJ5}
\south{AK,AKJT83,KQ64,4}
\east{Q763,Q64,72,K832}
\west{542,952,T5,AT976}
\end{handdiagram}

\paragraph{} \mbox{}
N-S uses the system sNT,
% (Strong NT for mathematicians),
details are published at \href{http://skelet.ludost.net/bidding/sNT_en.pdf}
{Strong NoTrump for mathematicians}.
N adds 2 points for the singleton in \he{}, E-W passed all the time: 

N: \di{1} -- 11-20 corrected points, 4+ \di{}, possible 0-3 \he{}, 4+ \sp{} or \cl{}

S: \he{1} -- 10+, forcing

N: \sp{1} -- 4+ \sp{}, 11-20 points, distribution groups x-4-x-4, 4-4-0-4

S: 1NT -- relay, the teller will answer with levels as follows:

$\quad \quad$ level 1 -- 11-14 points, x-4-x-4

$\quad \quad$ level 2 -- 11-14 points, 4-4-0-4

$\quad \quad$ level 3 -- 15-20 points, x-4-x-4

$\quad \quad$ level 4 -- 15-20 points, 4-4-0-4

N: \cl{2} -- level 1, 11-14 points, x-4-x-4

S: \di{2} -- relay, question for fictive distribution

N: \sp{2} -- fictive distribution 3-5-1-5, level 2 from table 1.

S: 2NT -- relay, question for exact distribution

N: \di{3} -- exact distribution 3-5-1-4

S: \he{3} -- question for aces

N: \cl{4} -- A\di{}

S: \di{6} -- final contract


\paragraph{} \mbox{}
The same board, N-S uses SDI (Strong minors for mathematicians):

N: 1NT -- 11-14 corrected points, 4+ \di{}, 0-3 \cl{}, possible 4+ \sp{} or 0-4-4-4

S: \cl{2} -- 13+, forcing

N: \sp{2} -- 4+ \sp{}, distribution group x-4-x-4

S: 2NT -- relay, question for fictive distribution

N: \di{3} -- fictive distribution 3-5-1-5

S: \he{3} -- relay, question for exact distribution

N: 3NT -- exact distribution 3-5-1-4

S: \cl{4} -- question for aces

N: \sp{4} -- A\di{}

S: \di{6} -- final contract

\begin{comment}

\paragraph{} \mbox{}

\begin{handdiagram}
\boardnum{13}
\north{J9,2,AJT952,K943}
\south{D3,AJ75,KD87,AD7}
\east{A842,D986,63,J65}
\west{KT765,KT43,4,T82}
\end{handdiagram}

\paragraph{} \mbox{}
N-S uses the system sNT (Strong NT for mathematicians), 
N adds 3 points for the singleton in \he{} and the doubleton in \sp{}, E-W passed all the time: 

N: \di{2} -- 11-14 corrected points, 6+ \di{}, 0-3 cards in \he{}

S: \he{2} -- 13+ points, forcing

N: \cl{3} -- 4-6-x-x

S: \he{3} -- relay (\di{3} is a proposal for a score)

N: 3NT -- fictive distribution 4-6-0-2

S: \di{5} -- final bid, no bidding space for details

\paragraph{} \mbox{}
The same board, N-S uses SDI (Strong minors for mathematicians):

N: \di{2} -- 11-14 corrected points, 6+ \di{}, 4+ \cl{} or \he{}

S: \he{2} -- 13+ points, forcing

N: \sp{2} -- 4-6-x-x

S: 2NT -- relay, question for fictive distribution

N: \di{3} -- fictive distribution 4-6-0-2

S: \he{3} -- question for exact distribution

N: \sp{3} -- 4-6-1-2

S: \cl{4} -- question for aces. The higher answer \cl{5} (for A\sp{}) will block

$\quad \quad$  final bid \di{5}, but in this case slam \di{6} has good chances.

N: \sp{4} -- 1 ace in longer color -- A\di{}

S: \di{5} -- final bid


\paragraph{}

\begin{handdiagram}
\boardnum{29}
\north{KDxx,DTxx,KJTx,x}
\south{Axxxx,,ADxx,AKDx}
\east{x,xxxxx,xx,Jxxxx}
\west{Jxx,AKJx,xxx,xxx}
\end{handdiagram}

\paragraph{} \mbox{}
N-S uses the system SDI (Strong minors for mathematicians), 
N adds 2 points for the singleton $\clubsuit$, E-W passed all the time: 

%\paragraph{} \mbox{}
N: 1NT -- 11-14 corrected points, 4+ \di{}, 0-3 \cl{}, possible 4+ \sp{} or 0-4-4-4

S: \cl{2} -- 12+, forcing

N: 2NT -- fictive distribution 0-4-4-4 (\sp{4} is safe contract at this point)

S: \cl{3} -- question for exact distribution

N: \di{3} -- 1-4-4-4 (missing card is in the shortest color)

S: \he{3} -- relay for aces, S evaluates 9-12 HCP for N

N: 3NT -- 0 or 4 aces

S: 4$\clubsuit$ -- relay for kings

N: 4$\diamondsuit$ -- 2 kings

S: 4$\heartsuit$ -- where are your kings?

N: 5$\clubsuit$ -- in $\clubsuit$-$\heartsuit$ or $\diamondsuit$-$\spadesuit$

S: 5$\diamondsuit$ -- relay for queens (6$\spadesuit$ is safe contract now)

N: 5$\heartsuit$ -- 2 queens

S: 7$\spadesuit$ -- final bid

\end{comment}

\Addresses

\end{document}

\begin{comment}
\section{System design}

\paragraph{\cl{1}} -- 11+, 4+ \he{} and 0-3 \di{} %\mbox{}

\di{1} -- 10+, forcing

$\quad$ \he{1} -- 15+, 6+ \he{}

$\quad$ \sp{1} -- 11-14, x-x-4-4, 4-0-4-4

$\quad$ 1NT -- 11-14, 3-3-5-3

$\quad$ \cl{2} -- 11-14, 4-x-x-4

$\quad$ \di{2} -- 15+, 3-3-5-3

$\quad$ \he{2} -- 15+, 4-x-x-4

$\quad$ \sp{2} -- 11-14, x-x-6-4

$\quad$ 2NT -- 15+, x-x-4-4

$\quad$ \cl{3} -- 15+, 4-0-4-4

$\quad$ \di{3} -- 15+, 8-x-x-x

$\quad$ \he{3} -- 15+, 6-0-6-0

$\quad$ \sp{3} -- 15+, 0-0-6-6


\paragraph{\he{2}} -- 11-14, (x-x-6-x, 4-x-6-x, x-x-6-4, 6-0-6-0, 0-0-6-6)

\end{document}
\end{comment}
